Laplacsche Dämon & Mal

Der trennende Zwischenraum der Sphären
Borborhad
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Laplacsche Dämon & Mal

Beitragvon Borborhad » Mo Feb 06, 2017 6:52 pm

Aka-she - Chronik

Russell bildete seine Antinomie mit Hilfe der „Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst als Element enthalten“,[1] die als Russellsche Klasse bezeichnet wird; er definierte sie formal folgendermaßen:[2]

R := { x ∣ x ∉ x } {\displaystyle R:=\{\,x\mid x\notin x\,\}} R:=\{\,x\mid x\notin x\,\}

Oft wird die Russellsche Klasse auch als „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ definiert; das entspricht der damaligen Mengenlehre, die noch nicht zwischen Klassen und Mengen unterschied. Die Russellsche Antinomie ist aber im Gegensatz zu den älteren Antinomien der naiven Mengenlehre (Burali-Forti-Paradoxon und Cantorsche Antinomien) rein logischer Natur und unabhängig von Mengenaxiomen. Daher hat sie besonders stark gewirkt und schlagartig das Ende der naiven Mengenlehre herbeigeführt.

Russell leitete seine Antinomie sinngemäß so ab:[3] Angenommen R {\displaystyle \,R} \,R enthält sich selbst, dann gilt aufgrund der Klasseneigenschaft, mit der R {\displaystyle \,R} \,R definiert wurde, dass R {\displaystyle \,R} \,R sich nicht enthält, was der Annahme widerspricht. Angenommen es gilt das Gegenteil und R {\displaystyle \,R} \,R enthält sich nicht selbst, dann erfüllt R {\displaystyle \,R} \,R die Klasseneigenschaft, so dass R {\displaystyle \,R} \,R sich doch selbst enthält entgegen der Annahme. Mathematisch drückt dies folgende widersprüchliche Äquivalenz aus:

R ∈ R ⟺ R ∉ R {\displaystyle R\in R\iff R\notin R} R\in R\iff R\notin R

Zur Ableitung dieses Widerspruchs werden keine Axiome und Sätze der Mengenlehre benutzt, sondern außer der Definition nur Freges Abstraktionsprinzip, das Russell in seine Typentheorie übernahm:[4][5]

y ∈ { x ∣ A ( x ) } ⟺ A ( y ) {\displaystyle y\in \{\,x\mid A(x)\,\}\iff A(y)} y\in \{\,x\mid A(x)\,\}\iff A(y)



I Q Test F, 6.2.17

Ist R in der Menge aller Mengen, sie sich selbst enthalten?
Festlegung: R ist nicht in der Menge aller Mengen die sich selbst enthalten!
Definition von R: Menge aller Mengen die sich selbst nicht enthalten.
Folgerung: R (Festleg.) ist in R (Defintion) und damit ist R eine Menge, die in sich sich selbst enthalten würde.

Also: Man definiert eine Menge. Man fragt sich, ob die nun definierte Menge eine Aussage darüber treffen kann, ob die definierte Menge selbst in der (schluss-) Menge wäre.
R ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
Ist R in R? - Nein!
R ist nicht in der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. ->
R ist in der Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten!

Ist R nicht in R? -Ja! Analog^^

Auf dem Menschen bezogen:
Das einsetzen einer bestimmten Regel in sich selbst führt zu Chaos... Denn Chaos ist das wiederholte einsetzen von Ergebnissen.
Die Russelsche Antinomie ist also das Chaos auf Menschlicher Ebene.

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